Liên hợp

Ta tạm ngắt chuỗi bài Galois để quay lại với lý thuyêt nhóm trừu tượng. Nội dung của bài kinh hôm nay sẽ bổ ích cho các bài tiếp theo trong mục Galois.

Một nhóm có hai tác đọng hiển nhiên lên chính nó, một là tịnh tiến bên phải, một là tịnh tiến bên trái. Cho . Phép tịnh tiến bên trái bởi phần tử là ánh xạ xác định bởi . Tương tự như vậy ta có phép tịnh tiến bên phải . Xin lưu ý rằng cả hai phép tịnh tiến bởi đều không bảo toàn cấu  nhóm của , nó gửi phần tử trung hòa  lên một phần tử không trung hòa.

Có một tác động thú vị hơn gọi là tác động liên hợp ký hiệu là . Tác động này bảo toàn cấu trúc nhóm của . Nếu là một nhóm giao hoán, tác động này là tác động tầm thường cho nên nó chỉ thú vị đối với các nhóm không giao hoán. Các quĩ đạo của tác động liên hợp được gọi là các lớp liên hợp : hai phần tử được coi là liên hợp nếu tồn tại sao cho . Phần tử trung hòa chỉ liên hợp với chính nó, nhưng thường thì các lớp liên hợp có nhiều hơn một phần tử.

Xét trương hợp nhóm các hoán bị cấp . Với mọi hoán vị , ta có thể đánh số lại các phần tử của tập  thành sao cho viết thành tích các hoán vị xích , , … với là một dãy giảm các số tự nhiên có tổng bằng . Ta gọi dãy này là dạng của hoán vị. Hai hoán vị là liên hợp với nhau khi và chỉ khi chúng có cùng một dạng.

Xét một tập có phần tử và là một tự đẳng cấu của nó. Nếu ta chọn một cách đong tập như đã giải thích trong nguồn gốc của khái niệm, ta có thể thể hiện như một hoán vị . Nếu ta thay đổi cách đong, thì được thể hiện như  hoán vị khác liên hợp với .

Xét nhóm các ma trận khả nghịch . Điều kiện cần để hai ma trận liên hợp với nhau là chúng có cùng vết, cùng định thức, hay tổng quát hơn là chúng có cùng đa thức đặc trưng. Đây là các đại lượng bất biến khi ta đổi cơ sở của không gian vec tơ. Tuy nhiên đây không phải là điều kiện cần. Ma trận đơn vị và một ma trận tam giác trên có các hệ số trên đường chéo bằng một có cùng đa thức đặc trưng.

Xét một không gian vec-tơ có số chiều bằng và là một tự đẳng cấu tuyến tính của nó. Nếu ta đong không gian , sẽ được thể hiện như một ma trận khả nghịch. Nếu ta thay đổi cách đong, ta nhận được một ma trận liên hợp với ma trận ban đầu.

Một nhóm con gọi là nhóm con chuẩn tắc nếu nó được bảo toàn bởi mọi tác động liên hợp , tức là với mọi , ta có . Bạn có thể dễ dàng kiểm tra rằng một nhóm con là chuẩn tắc khi và chỉ khi nó là hạch của một đồng cấu nhóm .

Bây giờ bần giao cho các bạn thích nhóm một bài tập không hiển nhiên gọi là bổ đề Jordan. Bổ đề này có trong sách của ông Camille Jordan, người được biết tới với định lý đường cong Jordan và cũng là người có công rất lớn nghiên cứu những bản thảo của Galois và công bố lại các kết quả của Galois dưới dạng mà những người đương thời có thể hiểu được. Đăc biệt là khái niệm nhóm xuất hiện dưới dạng như chúng ta biết trong sách của ông Jordan.

Bổ đề Jordan : Cho là một nhóm con của nhóm hữu hạn . Giả sử là có giao khác rỗng với mọi lớp liên hợp của . Chứng minh rằng . Chỉ ra phản ví dụ trong trường hợp nhóm vô hạn.

Nếu ta biết nhóm là nhóm chuẩn tắc thì không có chuyện gì để nói. Cái thú vị ở bổ đề Jordan chính là ở chỗ ta không giả thiết nhóm là nhóm con chuẩn tắc. Các bạn sẽ thấy bổ đề Jordan dùng như thế nào trong lý thuyết Galois ở các bài tiếp trong chuỗi bài Galois.