Tìm vết

Năng khiếu sư phạm của bần đạo rất khiêm tốn. Định dùng thuật tăng sờ để giải thích cho bạn đọc một số công thức trong đại số tuyến tính thường không được chứng minh. Ngẫm lại hóa ra lại giải thích công thức theo thứ tự từ khó đến dễ : Tăng sờ (1) diễn giải công thức Cauchy-Binet chắc không mấy người biết, Tăng sờ (2) diễn giải công thức Cramer ai cũng biết nhưng chứng minh không dễ. Ở bài này ta sẽ đề cập đến một khái niệm ai cũng biết, ai cũng có vẻ hiểu. Đó là vết. Vì thuộc tính toàn hiện (ubiquity) của nó nên nếu thỉnh thoảng có nhá nó lại một chút cũng chỉ toàn bổ.

Cho  là một tự đồng cấu của một không gian vec tơ hữu hạn chiều trên trường . Nếu chọn một có sở của và biểu diễn bằng một ma trận vuông theo cơ sở đó thì vết của nó là tổng các hệ số xuất hiện trên đường chéo. Cái định nghĩa không giải thích tại sao vết chỉ phụ thuộc vào chứ không phụ thuọc vào có sở. Nói cách khác, tại sao vết là một bất biến của .

Điểm tin

Đại số tuyến tính kém bắt khách quá. Phải ghi nhận chuyên toán có cái quí là  gìn giữ được tinh thần thích học toán. Nhưng có cái rất dở là làm trục trặc khẩu vị toán học của các bạn trẻ. Cụ Gelfand, vừa tịch tháng trước, tính tình có hơi cực đoan, nhưng không ai bàn cãi  về ảnh hưởng sâu sắc của cụ lên toàn bộ cái cây toán học. Có lần cụ ấy phán là 99% toán học là lý thuyết biểu diễn, tức là đại số tuyến tính theo nghĩa suy rộng. Điểm này thì bần đạo ủng hộ cụ 100%. Mong cụ mát mẻ nơi chín suối.

Hôm nay, bần đạo bắt chiếc mấy bác tay to điểm tin linh tinh cho vui vẻ.

Thứ nhất là Notices của hội toán học Mỹ có số chót đọc vui đáo để. Bình thường nó cũng chỉ giống bạn Gazette của hội toán học Pháp, đọc nhạt không khác nước ốc luộc. Nhưng đã chót ủng hộ các bác này gần một trăm một năm, đổi lại chỉ có mấy cái báo ấm ớ này, nên nhạt thì nhạt vẫn phải đọc cho bằng hết. Nói chơi vậy chứ ai có “điều kiện” cũng nên tham gia các tổ chức hội nghề nghiệp, không đóng góp được thời gian, thì góp tiền. Các hội nghề là các tổ chức phi chính trị, phi lợi nhuận, hoạt động hoàn toàn vì lý tưởng cao cả của nghề.

Đau lòng sổ bụi (3)

Phần cuối bài viết của Trần Trọng Vũ.

————————————————————————
3. CHỮ  và NGHĨA. BÊN NÀY và  BÊN KIA

Không phải ngẫu nhiên mà thói quen người đời trong khẩu ngữ  đặt CHỮ lên trước NGHĨA, BÊN NÀY rồi mới đến BÊN KIA. Khái niệm về khoảng cách địa lý không gây nhiều tranh cãi, vì sự hợp lý ở đây hoàn toàn có thể cụ thể hoá được. Lẽ đương nhiên là gần rồi mới đến xa. Thứ tự này là bất biến, không thể phủ nhận. Nhưng khi bước vào lĩnh vực nghệ thuật thói quen định vị của CHỮ và NGHĨA lại thường xuyên bị nhầm lẫn, thứ tự của chúng luôn bị xáo trộn, ở mọi thời, mọi nền văn hoá. Công chúng khi đứng trước một tác phẩm hội hoạ thường đòi hiểu ngay lập tức cái này muốn nói gì, khi nghe một bài hát thường phàn nàn không nghe được hết lời, khi đọc văn học thường chỉ đọc NGHĨA mà quên CHỮ, hoặc khá hơn một chút thì đặt NGHĨA lên trước CHỮ.

Ngay trong hàng ngũ những người làm nghệ thuật và phê  bình nghệ thuật quan hệ CHỮ và NGHĨA này cũng quay tròn như chong chóng gặp gió, gió chiều nào quay chiều ấy. Chưa kể đến những thoả hiệp giữa họ và công chúng. Thử mở những bài giới thiệu bình luận tác phẩm, NGHĨA bao giờ cũng được phóng to nhiều lần, dễ giải thích hơn, và cũng dễ hiểu hơn.

Thói xấu này trở nên quá phổ biến, đến mức đối với phần đông đọc NGHĨA không có CHỮ là một tập quán, tệ hơn nữa là một nguyên tắc bất di bất dịch. Đến mức chỉ cần đề nghị thiết lập lại vị trí của CHỮ và NGHĨA theo đúng như trong thói quen nói, không hề là một phát hiện thông minh nào, đã sánh ngang được một cuộc cách tân lớn.

Tăng sờ (2)

Ta đã đề cập đến chuyện tích ten-xơ là lời giải cho một bài toán phổ dụng, nhưng không nói rõ là bài nào. Vậy bây giờ đay lại một chút cho rõ :

Cho là hai không gian vec-tơ trên trương . Trong số các ánh xạ song tuyến tính lấy giá trị trong một không gian vec-tơ , tồn tại duy nhất một ánh xạ song tuyến tính nguyên thủy . Nguyên thủy (initial) có nghĩa là với mọi như ở trên, tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính sao cho . Ánh xạ song tuyến tính nguyên thủy là nhân vật mà ta ký hiệu phiên trước là . (Ai quên mất song tuyến tính là cái gì rồi thì xem ở đây).

Tương tự như vậy, tính tăng sờ đối xứng là ánh xạ nguyên thủy trong số các ánh xạ song tuyến tính đối xứng  . Đối xứng nghĩa là thỏa mãn . Dạng nguyên thủy này được ký hiệu là .

Rashomon

Viết blog có cái thú là nói chuyện nọ xọ chuyện kia. Đọc Vá thùa huyền thoại của cụ Hinh lại nhớ tới Rashomon.

Rashomon là bộ phim làm nên tên tuổi của Akira Kurokawa. Trong cơn mưa tầm tã, một nhà sư, một người tiều phu, một người hành khất trú dưới một cái cửa lớn, dột nát : Rashomon. Nhà sư và người tiều phu kể cho người hành khất một sự việc khủng khiếp xảy ra trước đó và về phiên tòa mà họ tham gia với tư cách nhân chứng. Cảnh đầu : một võ sĩ đưa người vợ xinh đẹp xuyên qua rừng,  gặp nhà sư ở cửa rừng. Cảnh tiếp theo  : tên cướp ngã ngựa, bị người tiều phu trói lại, mang lên quan phủ. Con ngựa là con ngựa người đàn bà cưỡi lúc gặp nhà sư. Trên quan trường, mỗi ngừời thuật lại sự việc kể từ khoảnh khắc  găp nhà sư cho đến khoảnh khắc tên cướp bị ngã ngựa. Người võ sĩ bị giết như thế nào. Vợ ông ta bị tên cướp hiếp như thế nào. Vai trò của tên cướp, người đàn bà, nhà sư và tay tiều phu trong cái chết của võ sĩ ra sao.

Tuy là cùng một câu chuyện, nhưng ta lại được nghe thuật lại nhiều câu chuyện khác nhau. Mỗi người không có khả năng chấp nhận sự việc xảy ra trong quá khứ, nếu nó chẳng may  làm lộ những gì đê tiện nhất trong mình. Như lúc chơi cờ, khi tướng bị chiếu, ta bắt buộc phải chạy hoặc che tướng, không làm khác được.  Khi thuật lại quá khứ, ai cũng tô hồng vai trò của bản thân mình. Tên cướp giết người võ sĩ, nhưng trong trí nhớ của hắn, đó chỉ là kết cục của một cuộc đo gươm oanh liệt. Trong trí nhớ của người đàn bà, thỉ cả hai kẻ cầm gươm, thực ra đều sợ chết, còn bà chỉ chịu bị nhục sau khi đã chống trả hết sức. Trong trí nhớ của tên cướp, chính bà là người nài nỉ hắn giết chồng bà. Nhưng bà ta lại nhớ khác … Cái hiện tượng tâm lý này trong tiếng Anh gọi là hiện tượng Rashomon.

Vá thùa huyền thoại

Bài cụ Hinh viết nối đuôi Khâu vá ngày qua. Sưu tầm từ chùa nuocdenchan.

[...] những mảnh đời của nàng Bạch Tuyết có cùng một chủ thể là nàng mà nên, có lý do gì mà chúng lại không có phần nào đó dính kết nhau?

[...]. Câu hỏi này của bạn Uyên thật chí lý, đẫm triết lý, khiến người  ta phải tiếp tục đào sâu…

Hôm nọ trước khi đi họp hội thảo ở  BaLê người ta bắt Cụ Hinh gửi 2 chiếc ảnh để làm thẻ dự hội nghị. Tìm mãi, ra bao nhiêu là ảnh! Càng ngắm mấy cái ảnh càng thấy chúng không xứng đáng đại diện cho mình, mà không xứng đáng tồn tại nữa là đằng khác! Chiếc thì cười ngô nghê, răng với lợi… chiếc thì đang ngủ gật chực ngáp ! Cái nữa thì tự nhiên có cái mụn chốc mép chín ửng! Cụ hạ quyết tâm, xé nhỏ chúng và cho vào thùng rác!

Cầu mấy bác khảo cổ học chớ có tìm ra lại mấy cái mẩu ảnh này nghen!

Không thể vậy được! Cụ Hinh không phải như vậy! Chúng có thể “tồn tại” nhưng là tồn tại không biện minh được. Chúng không nằm trong cái tấm màn bí ẩn, huyền thoại Cụ Hinh khâu dệt cho bản thân mình và cho bạn bè mình. Chẳng hóa mình muốn tặng mỹ nhân cái mụn chốc mép?

Thu năm ngoái

Xem thêm hình ở đây.

Tăng sờ (1)

Nhưng không phải tăng sờ các bạn Mắc Cụt và Nhị Linh hay mơ, mà là tăng sờ trong đại số tuyến tính. Nhớ nhé : bí quyết của đại số là tăng sờ cho thành thạo. Hôm nay, bần đạo giới thiệu khái niệm tăng sờ trong và tăng sờ ngoài cho các bạn thưởng thức. Vì là đại số nên nhiều ký hiệu khủng, các bạt hít vào một hơi dài trước khi đọc tiếp nhé, không sợ hơn đi mountain space đâu.

Cho là hai không gian vec-tơ trên một trường . Phương pháp trừu tượng để xây dựng không gian các tăng sờ là thế này. Trước hết ta xây dựng một -không gian vec-tơ khổng lồ với cơ sở là tích trực tiếp . Ta ký hiệu nó là . Mỗi phần tử của nó là một tổ hợp tuyến tính hữu hạn ở dạng  với các vô hướng . Sau đó, ta xét không gian con của cái không gian khổng lồ này sinh bởi các vec-tơ có dạng , và các biểu thức nhận được nếu ta đảo vị trí và . Ta đặt là không gian vec-tơ thương của chia cho không gian con .

Ta ký hiệu ảnh của vec-tơ trong là . Các vec-tơ lập thành một hệ sinh của nhưng chúng không độc lập tuyến tính nữa. Vì ảnh của trong bằng không, ta có các quan hệ song tuyến tính   và và các quan hệ tương tự khi và trao đổi vai trò. Thực ra ta đã xây dựng với các vec-tơ làm hệ sinh, thỏa mãn đúng các quan hệ như ở trên, không hơn, không kém. Xây dựng theo kiểu này hay được gọi là phổ dụng (universal).

Xây dựng theo phong cách phổ dụng bao giờ cũng cồng kềnh. Trong thực tế, ta chọn một cơ sở của , một cơ sở của . Khi đó là -không gian vec-tơ có cơ sở là . Nếu có chiều là , có chiều là thì có chiều là  . Cách hiểu này cho phép ta hình dung không gian tăng sờ một cách cụ thể hơn hẳn, ta không phải đánh võng qua không gian vec-tơ vô hạn chiều nữa.

Cái chết của mùa thu

Dịch thơ của Jean Richepin

—————————————————-

Ngọn gió bắc

Quật vào nách

Thu cà khổ

Lủi một mạch

-

Ngọn gió bắc

Cuộn thu lu

Trong thùng rượu

Thu đã chết

-

Chuông đã nguyện

Như lời than

Trong điệp khúc

Cuối cùng

-

Của cuộc vui

Vĩnh biệt ruộng nho

Đã hái hết rồi.

Khâu vá ngày qua

Chạy qua vườn nuocdenchan trộm quả ngọt của cụ Hinh. Kể ra có thể xếp quả này của cụ Hình vào mục Hinh học vi phân.

Hàng ngàn năm định canh định cư, cuộc sống một con người cột chặt hoàn toàn với cội nguồn nơi sinh ra và trưởng thành. Năm thì mười họa mới ra khỏi làng. Tất cả cảnh vật, con người, quan hệ trong họ ngoài làng … là những chân lý bền vững. Không khác gì cái cối xay gạo bằng đá kê đầu hiên từ thuở tổ tiên để lại. Người ta thật  phiền muội với đời sống này bao nhiêu thì đồng thời người ta cũng chẳng bao giờ phải bơ vơ về triết lý sống bấy nhiêu.